Μαθηματικά Ι

Γενικά

  • Κωδικός Μαθήματος: 1101
  • Εξάμηνο: 1ο
  • Τύπος Μαθήματος: Γενικής Υποδομής (ΓΥ)
  • Είδος Μαθήματος: Υποχρεωτικό (ΥΠ)
  • Γνωστική Περιοχή: Γενικών Γνώσεων και Δεξιοτήτων (ΓΓΔ)
  • Διδασκαλία Θεωρίας: 4 ώρες/εβδομάδα
  • Πιστωτικές μονάδες ECTS: 6
  • Ηλεκτρονική σελίδα μαθήματος: http://moodle.teithe.gr/course/view.php?id=1232
  • Γλώσσα διδασκαλίας και Εξετάσεων: Ελληνικά
  • Το μάθημα προσφέρεται σε φοιτητές Erasmus

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο σκοπός του μαθήματος της Μαθηματικής Ανάλυσης, ως ένα μάθημα υποδομής, είναι να παρέχει στους φοιτητές τις αναγκαίες μαθηματικές γνώσεις, εργαλεία και τεχνικές ώστε να μπορούν να χειριστούν μια σειρά από προβλήματα τα οποία εμφανίζονται σε εφαρμογές της επιστήμης των υπολογιστών. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτήτης/τρια αναμένεται να είναι σε θέση να:

  • Αναγνωρίζει τις βασικές κατηγορίες πινάκων και να μπορεί να εκτελέσει πράξεις μεταξύ πινάκων. Επίσης, πρέπει να είναι σε θέση να διακρίνει πότε δύο πίνακες μπορούν να συμμετέχουν σε μια συγκεκριμένη πράξη (πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό), καθώς επίσης να κατανοήσει ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετική πράξη.
  • Υπολογίζει την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή ενός πίνακα, χρησιμοποιώντας πράξεις γραμμών με τον αλγόριθμο απαλοιφής των Gauss – Jordan.
  • Επιλύει, συστήματα γραμμικών εξισώσεων επιλέγοντας κατά περίπτωση την κατάλληλη μεθοδολογία πινάκων. Επιπλέον, να είναι σε θέση να διερευνήσει συστήματα των οποίων οι συντελεστές εξαρτώνται από μια παράμετρο.
  • Γνωρίζει την έννοια του ορίου ακολουθίας και μπορεί να υπολογίσει όρια ακολουθιών χρησιμοποιώντας τους κανόνες υπολογισμού των ορίων.
  • Κατανοεί τις βασικές έννοιες γύρω από τις πραγματικές συναρτήσεις (όριο, συνέχεια, παράγωγος) και είναι σε θέση να υπολογίσει παραγώγους χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης. Μπορεί να εφαρμόσει θεωρήματα που σχετίζονται με το διαφορικό λογισμό και κατ’ επέκταση να υπολογίσει το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά Taylor μιας δεδομένης συνάρτησης. Επιπλέον, είναι σε θέση να εφαρμόσει τη διαδικασία μελέτης μιας πραγματικής συνάρτησης και να σχεδιάσει τη γραφική της παράσταση.
  • Υπολογίζει αόριστα ολοκληρώματα, εφαρμόζοντας κάποια από τις τρεις κύριες μεθοδολογίες (κατά μέρη, κατά παράγοντες, με αντικατάσταση), αφού είναι σε θέση να εκτιμήσει τη μεθοδολογία που θα δώσει αποτέλεσμα.
  • Διακρίνει την υφή του ορισμένου ολοκληρώματος από το αόριστο και είναι σε θέση να εφαρμόσει γνωστά θεωρήματα του ολοκληρωτικού λογισμού, για να πραγματοποιήσει τον υπολογισμό. Τέλος, μπορεί να εφαρμόσει τη σχετική θεωρία για τον υπολογισμό εμβαδών ή όγκων γεωμετρικών σχημάτων που περιγράφονται κατάλληλα.
Γενικές Ικανότητες
  • Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον
  • Παράγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
  • Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Περιεχόμενο Μαθήματος

Γραμμική Άλγεβρα: Πίνακες, Βασικές έννοιες, Κατηγορίες Πινάκων, Πράξεις Πινάκων και Ιδιότητες, Αντιστροφή πίνακα, Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών, Μέθοδος απαλοιφής του Gauss, Υπολογισμός Αντίστροφου με πράξεις γραμμών. Ορίζουσες – Μέθοδοι Υπολογισμού – Ιδιότητες, Υπολογισμός Αντίστροφου με Ορίζουσες. Γραμμικά Συστήματα, Μέθοδος του Αντίστροφου, Μέθοδος των Οριζουσών, Μέθοδος του Επαυξημένου Πίνακα, Διερεύνηση Παραμετρικών Συστημάτων.

Μιγαδικοί αριθμοί : Ορισμός μιγαδικού αριθμού, πράξεις μιγαδικών αριθμών, πολική και εκθετική μορφή μιγαδικού αριθμού, μετατροπή από μια μορφή σε άλλη, ρίζες μιγαδικών αριθμών, επίλυση εξισώσεων στο σώμα των μιγαδικών αριθμών.

Ακολουθίες – Σειρές: Ακολουθίες, Σύγκλιση και Όρια Ακολουθίας, Υπολογισμός Ορίου – Άρση Απροσδιοριστίας, Σειρές, Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Θετικών Όρων: Σύγκρισης, D’ Alembert, Cauchy και Λόγου, Κριτήριo Απόλυτης Σύγκλισης, Κριτήριο Leibniz (σειρές εναλλασόμενου προσήμου), Δυναμοσειρές: Ακτίνα και Περιοχή Σύγκλισης.

Διαφορικός λογισμός: Πραγματικές συναρτήσεις, Όρια συναρτήσεων, Συνέχεια, Παράγωγος, Κανόνες Παραγώγισης, Εφαρμογές των Παραγώγων, Θεώρημα Μέσης Τιμής, Σειρές Taylor, Κανόνας De Hospital, Μελέτη Συνάρτησης.

Ολοκληρωτικός Λογισμός: Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ολοκλήρωση κατά Μέρη – κατά Παράγοντες – με Αντικατάσταση Ορισμένο ολοκλήρωμα, Ιδιότητες, Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Ο.Λ.), Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ο.Λ., Γεωμετρικές Εφαρμογές των Ορισμένων Ολοκληρωμάτων.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης
  • Πρόσωπο με πρόσωπο θεωρητική διδασκαλία.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
  • Διάθεση διδακτικών σημειώσεων του μαθήματος σε ηλεκτρονική μορφή.
  • Υποστήριξη της μαθησιακής διαδικασίας μέσω της ηλεκτρονικής πλατφόρμας Moodle.
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος εργασίας εξαμήνου
Διαλέξεις52
Αυτοτελής μελέτη108
Επικοινωνία/συνεργασία20
Σύνολο 180
Αξιολόγηση φοιτητών

Η γραπτή τελική εξέταση του μαθήματος που περιλαμβάνει 5-6 κύρια ερωτήματα ανάπτυξης, που εμπλέκουν τα παρακάτω ζητούμενα:

Επίλυση - Διερεύνηση Γραμμικών Συστημάτων
Μελέτη της φύσης σειρών - Υπολογισμός περιοχής σύγκλισης δυναμοσειρών
Μελέτη συνάρτησης
Εφαρμογή θεωρημάτων του διαφορικού λογισμού (Θεώρημα Μέσης Τιμής, Taylor, De Hospital, .κ.λπ.)
Υπολογισμός Ορισμένων ή Αόρστων Ολοκληρωμάτων
Γεωμετρικές εφαρμογές των ορισμένων ολοκληρωμάτων

Το ως άνω σχήμα αξιολόγησης στο θεωρητικό και στο εργαστηριακό μέρος του μαθήματος γνωστοποιείται στους ενδιαφερόμενους φοιτητές

(α) μέσω της ιστοσελίδας του τμήματος,
(β) μέσω των σελίδων του μαθήματος στην ηλεκτρονική πλατφόρμα Moodle, και
(γ) με ανακοινώσεις στη διάρκεια των πρώτων διαλέξεων και συναντήσεων στο εργαστήριο κατά την έναρξη του κάθε ενός ακαδημαϊκού εξαμήνου.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Συγγράμματα μέσω του συστήματος "Εύδοξος"
  1. ΠΕΤΡΑΚΗΣ Λ. ΑΝΔΡΕΑΣ, ΠΕΤΡΑΚΗ Α. ΔΩΡΟΘΕΑ, ΠΕΤΡΑΚΗΣ Α. ΛΕΩΝΙΔΑΣ, "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι", Εκδότης: ΠΕΤΡΑΚΗ ΔΩΡΟΘΕΑ , Έκδοση: 2, 2017, ISBN: 978-618-83244-0-4, [Κωδ. Ευδόξου 77107076]
  2. Χ.Κ. Τερζίδης, "Λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής με στοιχειά διανυσματικής & γραμμικής άλγεβρας", Εκδόσεις Χριστοδουλίδου Ο.Ε,, 2η έκδοση, 2006, ISBN: 960-8183-56-1, [Κωδ. Ευδόξου 59367707]
Συμπληρωματική ελληνόγλωσση βιβλιογραφία
  1. Α. Αθανασιάδης, "Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής και εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα", Εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Α.Ε, 4η έκδοση, 2001, ISBN: 960-8129-08-7.
  2. Δημητρακούδης, Θεοδώρου, Κικίλιας, Κουρής, Παλαμούρδας , "Διαφορικός Ολοκληρωτικός Λογισμός", Εκδόσεις Δηρός Α.Ε, 1η έκδοση, 2002,
Συμπληρωματική ξενόγλωσση βιβλιογραφία
  1. Stewart J., "Single Variable Calculus", , Brooks/Cole Pub Co, 3rd ed, 1994, ISBN: 0534218288.
  2. Thomas, G.B., Weir M.D., Hass, J., Thomas, "Calculus", Addison Wesley, 12th Edition, 2009, ISBN: 0321587995.
  3. Strang G., "Linear Algebra and its applications¨", Thomson, Brooks/Cole, 2009.