Αριθμητικές Μέθοδοι

Γενικά

  • Κωδικός Μαθήματος: 1641
  • Εξάμηνο: 6ο
  • Τύπος Μαθήματος: Επιστημονικής Περιοχής (ΕΠ)
  • Είδος Μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής (ΥΠ-ΕΠ)
  • Γνωστική Περιοχή: Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι (ΠΑ)
  • Διδασκαλία Θεωρίας: 4 ώρες/εβδομάδα
  • Πιστωτικές μονάδες ECTS: 6
  • Ηλεκτρονική σελίδα μαθήματος: https://aetos.it.teithe.gr/~gouliana/aa_theory.html
  • Γλώσσα διδασκαλίας και Εξετάσεων: Ελληνικά
  • Το μάθημα προσφέρεται σε φοιτητές Erasmus
  • Προτεινόμενα προαπαιτούμενα μαθήματα: (1101) Μαθηματικά Ι, (1102) Δομημένος Προγραμματισμός
  • Διδάσκοντες: Γουλιάνας Κωνσταντίνος

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Σκοπός του μαθήματος είναι οι φοιτητές να πάρουν τις βασικές γνώσεις της Αριθμητικής Ανάλυσης. Βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι: α) Η εισαγωγή στην θεωρία σφαλμάτων παρουσιάζοντας τους ορισμούς των σφαλμάτων στρoγγύλευσης και αποκοπής, τα σφάλματα της μετατροπής πραγματικών δεκαδικών αριθμών σε αριθμούς κινητής υποδιαστολής (floating point) στον Η/Υ και την μετάδοση αυτών των σφαλμάτων στις πράξεις μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής. β) Ο προσεγγιστικός υπολογισμός μαθηματικών σειρών και η προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού. γ) Η παρουσίαση και μελέτη προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης των ριζών μη γραμμικών εξισώσεων και πολυωνύμων και η δημιουργία των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίησή τους σε Η/Υ. δ)Η παρουσίαση και μελέτη άμεσων και προσεγγιστικών μεθόδων για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. ε) Η μελέτη και παρουσίαση μεθόδων εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής από ένα πίνακα τιμών κάποιας άγνωστης συνάρτησης. ζ) Η παρουσίαση προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης ορισμένων ολοκληρωμάτων και η ανάπτυξη των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίηση ενδεικτικών παραδειγμάτων των παραπάνω μεθόδων και ο προγραμματισμός τους σε Η/Υ. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια θα είναι σε θέση :

  • Να κατανοεί τον τρόπο που επηρεάζουν τα σφάλματα την αποθήκευση, τους υπολογισμούς και τις πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών στον Η/Υ.
  • Να εφαρμόζει τα αναπτύγματα Mac Laurin για την προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού και κατανοεί τα σφάλματα αποκοπής που προκύπτουν.
  • Να εφαρμόζει τις μεθόδους εύρεσης ριζών εξισώσεων και πολυωνύμων και διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και προσέγγιση των λύσεων.
  • Να εφαρμόζει τις μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων και διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και το υπολογιστικό κόστος των πράξεων που απαιτούνται για την προσέγγιση των λύσεων.
  • Να εφαρμόζει τις μεθόδους παρεμβολής και να εκτιμά την μετάδοση σφαλμάτων στους πίνακες διαφορών.
  • Να εφαρμόζει τις μεθόδους Αριθμητικής ολοκλήρωσης και να διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και την προσέγγιση των λύσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Θεωρία Σφαλμάτων : Σφάλματα, Αριθμητική κινητής υποδιαστολής, Μετάδοση σφαλμάτων.
• Υπολογισμός Σειρών Μαθηματικών Συναρτήσεων : Υπολογισμός Σειρών, Σφάλμα αποκοπής, διόρθωση.
• Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων : Απομόνωση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων, Υπολογισμός τιμής, παραγώγων πολυωνύμου ( Σχήμα Horner ), Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων ( Σύγκλιση, ταχύτητα σύγκλισης ), Μέθοδος Διχοτόμησης, Εσφαλμένης θέσης, Διαδοχικών προσεγγίσεων, Newton-Raphson, Χορδής.
• Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων : Άμεσες μέθοδοι (Επίλυση Διαγωνίου, Άνω-Κάτω Τριγωνικού Συστήματος, Απαλοιφή Gauss), Επαναληπτικές Μέθοδοι ( Μέθοδος Gauss-Seidel, Jacobi ).
• Ανιούσες Διαφορές : Προς τα εμπρός, προς τα πίσω, κεντρικές διαφορές, Μετάδοση σφαλμάτων, Τελεστές διαφορών.
• Γραμμική Παρεμβολή : Τύποι παρεμβολής Newton-Gregory, Τύποι παρεμβολής Lagrange, Διόρθωση στους τύπους παρεμβολής.
• Αριθμητική Ολοκλήρωση : Μέθοδος των τραπεζίων, Μέθοδος Newton-Cotes, Μέθοδος Simpson, Μέθοδος Gauss

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης
  • Πρόσωπο με πρόσωπο θεωρητική διδασκαλία (παράδοση, συζήτηση, επίλυση προβλημάτων)
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
  • Χρήση της πλατφόρμας moodle
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος εργασίας εξαμήνου
Διαλέξεις52
Συγγραφή και παρουσίαση υποχρεωτικής εργασίας
Ατομική Μελέτη και ανάλυση βιβλιογραφίας128
Σύνολο 180
Αξιολόγηση φοιτητών

Προαιρετική Εξέταση Προόδου
Γραπτή Εξέταση
Προαιρετικές Ασκήσεις

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Συγγράμματα μέσω του συστήματος "Εύδοξος"
  1. "Αριθμητική ανάλυση", Ζήτη Πελαγία & Σια Ι.Κ.Ε., 1η έκδ., 2008, ISBN: 978-960-456-084-4, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 10987
  2. "Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς", ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 7η Έκδοση Βελτιωμένη, 2018, ISBN: 978-960-418-763-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 77106818
  3. "Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση", ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 2η Έκδοση, 2015, ISBN: 978-960-418-572-6, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 50657724
Συμπληρωματική ελληνόγλωσση βιβλιογραφία
  1. Σημειώσεις για το Θεωρητικό μέρος του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών – Θεωρία, Παραδείγματα και Άλυτες Ασκήσεις». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2011.
  2. Σημειώσεις για το Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Εργαστηριακές Ασκήσεις Αριθμητικής Ανάλυσης στη Γλώσσα Προγραμματισμού C». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2007.
  3. Κυτάγιας Δημήτρης, Βρυζίδης Λάζαρος, “Αριθμητική Ανάλυση/Αλγοριθμική Προσέγγιση”: Εκδόσεις Ίων, 1991.
  4. Χατζηδήμος Απόστολος, “Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση”: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ιωαννίνων, 1977.
  5. Χατζηδήμος Απόστολος, “Αριθμητική Ανάλυση Ι και ΙΙ”: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ιωαννίνων, 1979.